｢微分は実生活で使わない｣と思う人に欠けた視点 現役東大生が解説する数学の重要性と面白さ

それに対して積分は、関数の面積または累積を計算する操作のことです。関数が表す領域の面積や、関数値の合計などを求めることができます。積分は、物体が移動した距離を求めたり、あるものの面積や体積を計算したりために使用されています。

堅苦しい言葉での説明にはなってしまいましたが、これを聞くと、冒頭で出題した問題に微分・積分が使われていることがある程度納得できたのではないでしょうか。微分・積分の基本的な概念を確認したうえで、あらためて「時速」について考えてみましょう。

時速30kmとは、言葉のとおりに考えると「1時間で30km進める速さ」ということです。冒頭でも計算しましたが、1分に直すと「÷60」をして0.5km、つまり500mですね。よって、この「時速30km」を、「分速500m（1分間で500m進める速さ）」と言い換えることができます。

「時速30km」を測定する方法

この「時速30km」っていったいどのように測っているのでしょうか？

1時間運転し続けて30kmの道のりを進んだ場合、その間の時速は当たり前に30km/hとなります。しかし、数分の運転でも速度計に時速は表示されますよね？ ましてや、1時間運転をし続ける間でも直線で加速したり、カーブで減速したり、渋滞や信号待ちで停止したりなど、運転の状況に応じて時速は目まぐるしく変化します。では、その速度を測るためには一体どうすれば良いのか。ここで「微分」が登場するのです。

先ほど、時速を分速に直しました。その際には「÷60」という計算をしましたね。これをさらに「÷60」すると、1分は60秒であるため、秒速を出すことができます。

このように、時間と進んだ距離の両方を同じ数で割っていくことで、より短い間隔での速度を計算することができるのです。これを極限まで小さくしたもの、つまり「瞬間の速さ」を求めることこそが微分なのです。

例えば、1時間で30km進んだ車を考えたときに、平均の速度は時速30kmですが、実際は常に同じスピードだったわけではありません。もし前半の30分で10km、後半の30分で20km進んでいた場合は、前半の時速は20km/h、後半の時速は40km/hとなります。

これをもっと分解して、最初の10分で3km、次の10分で2km、その次の10分で5km……と考えていけば、時速はそれぞれ18km/h、12km/h、30km/hと計算することができます。これを0.1秒、0.01秒といった次元で行って逐一計算した値が、デジタルの速度計に表示されているのです。