「100年前の東大入試」で本当に出た数学の超難問 明治の東大生を「唸らせた」ディープな奇問たち

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積分、二次曲線に続いては、微分系の問題です。出題テーマは「偏微分の等式証明・Helmholtz方程式」で、問題文が英文と数式だけで構成されています。驚きですね。

東大数学の入試問題画像その3
(出典:『100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100』)

この微分方程式は、物理でよく登場する方程式そのものです。当時の入試数学では、このように物理と関係した問題もよく見られましたが、大学の物理で扱う偏微分方程式が入試で登場するとは、現代では見られないことですね。

ひたすら微分計算をするのですが、分子にも r の関数が乗っているため、計算が複雑になります。対称性や次数、符号のミスに注意が必要です。

ここまで紹介した3問のように、積分、二次曲線、微分に関連した問題が当時のトレンドでした。そのなかで、ごく少数ではありますが、確率の問題もありましたので、ご紹介します。

出題テーマは、「いつ終わるか不明なゲーム」です。

東大数学の入試問題画像その4
(出典:『100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100』)

シンプルなルールのゲームですが、何回札を引けば勝負がつくかはわかりません。

そこで、このゲームが過去の「履歴(これまでの結果)」に影響しないことに着目し、無限等比級数を考えることにより、両者の勝率を求めます。

100年前の入試問題を象徴する超難問

では最後に、とっておきの超難問をご紹介しましょう。「各辺の長さを与えた四角形の面積の最大値」に関する問題です。

東大数学の入試問題画像その5
(出典:『100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100』)
100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100
『100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100』(KADOKAWA)。書影をクリックするとAmazonのサイトにジャンプします

問題も解答も短くシンプルで、100年前の入試問題を象徴しています。

具体的な量が何も与えられていないため、自分で定義することからはじめる必要があります。三角形の成立条件や角度の変域にも要注意です。

なお、四辺の長さの順番は、入れ替えられないものとしますが、最後には興味深い事実が明らかになります。

いかがでしたでしょうか?

数学は、奥深く、面白い。そして、現代のテクノロジーの根幹にあったり、統計などさまざまな分野で活用されていたりします。

今回ご紹介した5問以外にも、およそ100年前当時の東京帝國大學の入試数学には、面白い問題が多くあります。当時の受験生になったつもりで楽しんでいただき、数学の面白さを堪能していただけると、とてもうれしく思います。

林 俊介 スタグリット代表取締役

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はやし・しゅんすけ / Shunsuke Hayashi

1996年生まれ。2019年、東京大学理学部物理学科卒。2016年1月に塾講師・家庭教師のアルバイトを始めたことをきっかけに、教育関連の仕事に従事。自身で書籍・電子書籍の出版経験があるほか、小学生向けの科学実験教室の監修(東京都港区行政案件)、低学力層の中学生向けのフォローアップ授業(東京都台東区行政案件)など活動は多岐にわたる。2014年、日本物理オリンピック金賞。情報経営イノベーション専門職大学 客員教員。

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