正解するのはまず不可能「1+1が2になる」理由

きちんと答えられる人はおそらく「少数派」

「1+1=2」という式には1と2という数字、+という記号が含まれています。まずは数字に注目してみましょう。1や2のように、0より大きい整数のことを自然数と呼びます。ペアノはこの自然数がどのようなものかを、「ペアノの公理」という5つの約束で定めました。

<ペアノの公理>
次の性質をもつ集合Nを考える。
(1)集合Nは1という要素をもつ。
(2)集合Nの各要素に対し、その後に続く数が1つだけある。
(3)互いに異なる要素の後に続く数は、互いに異なる。
(4)1を後に続く数とする要素は存在しない。
(5)集合Nの要素1がある性質Aを満たすとき、集合Nの要素nが性質Aをもち、かつnの後に続く数も性質Aをもつならば、集合Nの全ての要素は性質Aをもつ。

この時、Nを自然数の集合といい、Nの要素を自然数という。

次に、+という記号に注目してみます。これも定義しておきましょう。集合Nのある要素nについて、n+1=nの後に続く数、という関係が成り立つとします。

今、aという仮の自然数を考えます。これに別の自然数a'の後に続く数を足すとします。このとき、a+(a'+1)=(a+a')の後に続く数、という関係が成り立つとします。また、自然数aに対してa+0=aが成り立つとします。

ペアノの公理で証明してみよう

さて、材料の準備が整いました。今約束した数字と記号の定義から、1+1=2は真である、という命題を証明してみましょう。

ペアノの公理(1)より、1は自然数であることが認められました。次に(2)より、1の後に続く数に対応するものがただ1つあることがわかります。これを2と表す、としましょう。

今、a=1とすると、a+(0+1)は1+1ですね。これは1の後に続く数です。1の後に続く数は先ほど2と表そうと決めました。よって、左辺が1+1、右辺が2。つまり、1+1=2となります。

このように、自然数のイメージや具体的なものを使わなくても、記号によって1+1=2という結果を得ることができます。

(出典:『これってどうなの?日常と科学の間にあるモヤモヤを解消する本』より)

ペアノは、数学を、直感を使わずに論理だけで作っていくことを研究の目的としていました。また、少し異なるアプローチですが、フランス出身の数学者、ルネ・デカルトは、直感が必要だった幾何学を座標を用いることで、計算に落とし込みました。記号は慣れるまでは手触りの悪いものですが、実は直感やセンスがあるかどうかに関係なく、どんな人でも数の不思議に触れることができるようにしてくれる、心強い味方なのかもしれません。

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