｢頭の回転の速い子｣が数学で得たスゴい思考の型 算数･数学の｢頭の使い方｣は日常生活に使える

これは実は、図形に置き換えて考えると一発でわかります。

出所：『東大算数』より

1辺が1cm×1cmの正方形のタイルを敷き詰めて、新しい正方形を作っていきます。

1タイルの正方形を作った後、2cm×2cmの正方形を作るためには、右下に逆L字に並べるタイルが3つ必要ですね。これで、1つのタイルに3つのタイルが加わって、4タイルの正方形ができました。

では、次に3cm×3cmの正方形を作るためには？ これも、同じことですね。4タイルに加えて、右下に逆L字に並べるタイルが5つ必要です。これで4＋5＝9タイルの正方形ができます。

もう気づいた人もいるかもしれないのですが、この「正方形作り」と「1＋3＋5＋7＋……」の計算は、一緒です。この正方形の面積が、この奇数の足し算の合計と同じ数になるのです。

だから、3番目までの奇数の合計は3×3の正方形の面積と同じで9に、4番目までの奇数の合計は4×4の正方形の面積と同じで16に、50番目までの奇数の合計は50×50で2500になるのです。

この性質、面白いですよね。2×2、4×4、11×11のような同じ数同士の掛け算の結果のことを「平方数」というのですが、どんな平方数も、実は奇数の足し算でできているのです。

「置き換え」は数学の常套テクニック

数学の勉強をしていくと、このような「置き換え」がたくさん登場します。

数学において、「何か難しいもの・ややこしいものを『定義』する」ことはかなり多く、思考を前に進めていくために活用されるものです。

いちばん有名なのは、円周率ですね。「3.141592…」と無限に続いていくものを「π（パイ）」と定義し、置き換えて進めていくことで、計算を速くしたり、簡略化することができますよね。円周率＝πと定義しているからこそ、本当は「3×3.141592…」という計算を「3π」とすることができます。

置き換えることで計算を簡単にするというテクニックは、結構多くの場面で使えます。