shy away （〈何かを〉避ける） shyは何かを避けたい気持ちを表す

米国大統領選挙ではmail-in voting（郵便投票）に注目が集まっています。全有権者に投票用紙が郵送される州もあれば、事前申請が必要な州もあります。先陣を切ったノースカロライナ州は後者ですが、申請者の多くは民主党員で、共和党員はごく少数。ほかの州でも同様の傾向があるようです。

Republicans are listening to Trump and shying away from mail-in ballots.

共和党員はトランプ氏の言うことを聞いて、郵便投票を避けています。

shy away from 〜は「〜を避ける」。shyといえば日本では「恥ずかしがりの」という意味で使われることが多いですが、本来は、否定的なニュアンスの含まれる形容詞で、自信がない、心配だ、面倒なことになりそうだ、といった理由で何かを避けたい気持ちを表します。例文はこれが動詞化して熟語となったものです。

郵便投票はトランプ氏に不利に働くといわれているだけにDemocrats are rushing to use them.（民主党員は先んじて利用している）のに対し、共和党員は逆の動きをしているわけですね。

次の例文はnot shy awayで「避けることはない」。avoidが「避ける」という行為を述べるのに対しshy awayは「避けたい」という感情を表します。

Biden is not shying away from talking about his Catholic faith.

バイデン氏は自身のカトリック信仰について語るのを避けることはありません。