パート3「感動する数学」(第6回)オイラーの公式からみえる風景

桜井進

オイラーの公式はわれわれをどこに連れて行き、そしてどんな景色を見せてくれるのでしょうか。数学の世界では、実数世界を包括する複素数世界との橋渡しになるのがオイラーの公式だったのです。複素関数(複素数世界での関数)を考え、微分積分を行えるように整備するのです。オイラーの公式における変数xは実数です。しかし、そのxの前にiがあることから複素数につながるのです。その実数xを複素数zに取り替えることが可能になるのです。これより、オイラーの公式は複素関数の指数関数の定義と見ることができるようになります。ここから出発して、複素関数としての三角関数、双曲線関数、対数関数など初等関数を考えることができるようになるのです。


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