パート3「感動する数学」(第5回)有限の先にはない無限

桜井進

「線路はつづくよどこまでも…」
数学でいう「無限」とはこの線路~数直線~の果てにあるものを考えるのでしょうか。実はそうでもあり、そうでもないというのが答えなのです。今回は数学が考える無限に迫ってみることにします。はたして線路の向こうに見える風景はいかに!



前回第4回で問題にした自然数の無限までの和1+2+3+…を、数直線上だけで考えますと、1+2=3、 1+2+3=6、…、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55、… となり、無限まで足し続ければ答えは無限大になります。このことは誰の目にも明らかなことです。まさに線路をどこまでも進んでいけばどこまでも進むことができるという感覚が、その考え方の合理性を支持することになるのです。もう一度次の不思議な絵をご覧いただきましょう。



この絵は眺めれば眺めるほど、エッシャーやマグリッドの絵のように不思議に見えます。あり得ない風景なのだと感じることでしょう。ところがこれが正しいとする合理的理由があるのです。さっそくその合理的理由~証明~をみてください。

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