パート2「驚異の数学」(第4回)人は足すことをやめない 無限まで足す 無限級数編

桜井進

問題です。次のこたえは答えはいくらでしょうか。

1+2+3+4+5+6+7+…=?

左辺の … は無限項まで足し合わせることを意味します。無限項の和を「無限級数」(級数ともいいます)といいます。前回紹介した次の公式

1+2+3+… +n = n(n+1)/2

を思い出せば、n→∞を考えて答えは無限大∞となります。これを「級数は発散する」といいます。もちろん公式を考えるまでもなくその答えは∞であることはあきらかでしょう。
次に、等比数列の無限級数を考えてみましょう。
問題です。公比が1/2である次の級数の和を求めよ。


無限に数を加えていくのですからその値は無限(発散する)と考えられます。しかし、その答えが有限になるときがあります。等比数列の無限項の和、これを「無限等比級数」といいますが、この結果を計算する公式があります。

初項a、公比rの無限等比級数は、-1に収束する。

すると、この公式において a= 1/2 、公比r=1/2とすると、

を得ます。これは、次の絵のように面積で考えてみると級数は1辺が1の正方形の面積1(=1×1)に収束することが納得できます。

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