パート2「驚異の数学」(第3回)人は足すことをやめない 和の公式 有限編

桜井進

 おじさんから1000円、おばさんから2000円、お父さんからは5000円、・・・全部でいくらになったかな? 子どもの頃、お年玉をもらうたびに合計金額を計算することほど楽しいことはありませんでした。お年玉をもらうたびに足し算をしていきます。これからもらうかもしれない額までも足し算をして、獲得金額の予想をしたものです。「捕らぬ狸の皮算用」を体験した経験がありませんか。足すことがこれほどまでに楽しいものかと思いました。足したら合計はいくらになるのかわくわくしながら、それも手早く結果を得たいと望みます。算数の教科書の問題は嫌いでもお年玉の計算をいやがる子どもはいないのではないでしょうか。ことお金にかぎらず、人は足すことを本能とするのではないかとさえ思えてきます。合計を知りたい、それもできるだけ早く知りたい。数学の世界でもこの原始的欲求をいかに満たすかを追求するのです。
 では問題です。1から10までの自然数を何乗かして足し算したらいくらになるでしょうか。

1+2+3+…+10=?
12+22+32+…+102=?
13+23+33+…+103=?
14+24+34+…+104=?
15+25+35+…+105=?
16+26+36+…+106=?

最初の問題くらいならすぐにできそうですが、それ以外は大変そうです。ではこの和を求める公式に登場してもらいましょう。

自然数の冪和公式

 これを用いれば早く計算できそうです。実際に計算してみると以下のようになります。


 上の計算の1行目1+2+3+…+10のような計算を等差数列の和といい、1+2+22+23+…+210のような計算を等比数列の和といいます。等差数列の和の公式は、天才数学者ガウスも幼少時代に見つけています。

等差数列の和の公式
ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス(1777-1855、ドイツ)


等比数列の和の公式
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