パート1「鑑賞する数学」(第2回)図形・グラフ編

桜井進

 「鑑賞する数学」今回は図形・グラフです。とくにグラフを中心に見る数学を紹介してまいりましょう。
 数学でグラフといった場合「関数のグラフ」と「グラフ理論のグラフ」の2種類があります。ここでは「関数のグラフ」を取り上げます。前回「(第1回) 方程式・恒等式編」で方程式を代数的に解くことの話をしました。関数のグラフを描くことで方程式の解が見えてきます。式の変形によるのではなくグラフを見ることで解の存在について明らかになるのです。簡単な例から見ていきましょう。 x の方程式 2x-5=0 を解くことを考えてみましょう。 y=2x-5 のグラフを描けばいいのです。


直線が横軸つまり x 軸と交わる座標が解 x=5/2 と見て取れます。こんな解釈もできます。 x の連立方程式を解くことは二つのグラフの交点を見つけることに相当します。


2直線は1点 (1,2) で交わっていることがわかります。つまり連立方程式の解は1組存在していることがグラフを見て判断できるわけです。前回の3次方程式 x3-x2-x-1=0 も y=x3-x2-x-1 のグラフを描いてみます。


となり、 x 軸との交点を読み取ると x=1.83929… となることがわかります。
 このように見てくるとグラフの正体は関数 y=f(x) に対して座標平面に点 (x,f(x)) を集めたもの(集合)を図示したものと言えます。 x の方程式 f(x)=0 の解は y=f(x) のグラフと x 軸(直線 y=0 )との交点の座標と見ることができるわけです。するとグラフという強力な装置を使えば、


の壁を乗り越え、代数的に解けない5次方程式 x5-x4-4x3+2x2+2x-1=0 でさえ、一目瞭然に解が座標平面の点として現れてくることになります。

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