(第44回)“22/8”ネイピア数

桜井進

●8月22日は何の日?
 連載第42回は「7月22日は円周率の日」でした。その1ヶ月後である8月22日も数学定数にちなんだ日です。それは「ネイピア数e」です。別名「自然対数の底」とよばれるe の値は2.718282828459045…です。22÷8=2.75であるので、e の近似値といえるのです。
 このネイピア数は円周率ほど一般には知られていませんが、数学の世界ではこの数は円周率πと並んで重要なのです。円周率πは円という身近な形に関係していることで理解しやすいのですが、ネイピア数e は円のような形に直接は関係していません。高校数学で習う微分積分の公式の中にしか顔をださないことが一般には知られていない原因といえます。

 しかし、ネイピア数e を使った指数関数のグラフを眺めると意外にも身近にその形を見つけることができます。
 一日の疲れを癒してくれるお風呂。日本人にはお湯につかるという習慣があります。一度沸かした湯はほっとけばほどなくして温度は下がります。図のグラフはその時間変化を表したものです。

 このe の何乗を考えたものを指数関数や自然対数といい、数学では基本的関数とされています。お風呂の温度変化のような関係が指数関数で表される自然現象や社会現象には、細菌の増殖、細胞の分裂、放射性物質の量、人口推移などたくさんみつけることができます。これらの例からわかるように刻々と変化する様子の中に指数関数が現れてきます。それこそが“ 微分積分”です。18世紀の天才オイラーは微分積分学をつくりあげました。その中で発見した定数こそe でした。その名前の由来は発見者である数学者オイラー(Euler)の頭文字です。
 オイラーは、指数関数ex が三角関数cosx とsinx(円に宿る関数なので円関数ともよばれる)と関係することをつきとめました。それが次のオイラーの公式です。
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